Funktionentheorie in der Ebene und im Raum by Klaus Gürlebeck, Klaus Habetha, Wolfgang Sprössig

By Klaus Gürlebeck, Klaus Habetha, Wolfgang Sprössig

Die Funktionentheorie einer komplexen Variablen hat heute höher-dimensionale Analoga: dabei wird die Algebra der komplexen Zahlen durch die nicht-kommutative Algebra der reellen Quaternionen bzw. Clifford-Algebren ersetzt. In den letzten 30 Jahren hat sich die so genannte Quaternionen- und die reelle Clifford-Analysis erfolgreich entwickelt. Eine Vielzahl von Anwendungen haben diese Funktionentheorie höher-dimensionaler Variablen zu einem wichtigen device der research und deren Anwendungen in der mathematischen Physik werden lassen.

Das Buch reflektiert den neuesten Stand der Forschung und entwickelt sowohl die höher-dimensionalen Ergebnisse als auch die klassischen komplexen Resultate aus einem einheitlichen Begriff der Holomorphie. Der fundamentale Begriff der holomorphen Funktion als Lösung des Cauchy-Riemann-Systems wird im Höher-dimensionalen unter Beibehaltung der Bezeichnung als Lösung eines entsprechenden platforms partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung verstanden.

Historische Bemerkungen, zahlreiche Beispiele, viele Abbildungen sowie eine angemessene Auswahl von Гњbungsaufgaben festigen und erweitern die erworbenen Kenntnisse.

Das vorliegende Buch ist fГјr Studenten der Mathematik, Physik und mathematisch orientierten Ingenieurstudenten im Grund- und Fachstudium geeignet. Es kann auch als Grundlage von Proseminaren oder Seminaren dienen.

Die beiliegende CD enthält eine umfangreiche Literaturdatenbank sowie ein Maple-Package, das die im Buch eingeführten Werkzeuge und Methoden als Kommandos bzw. vorgefertigte Prozeduren enthält. Einige Beispiel-Worksheets unterstützen die Einarbeitung in das Package.

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Dann gilt (z1 + z2 j)(z1′ + z2′ j) = (z1 z1′ − z2 z2′ ) + (z1 z2′ + z2 z1′ )j. 48 Kapitel I. Zahlen Die entsprechende Matrixmultiplikation lautet „ z1 −z2 z2 z1 «„ z1′ −z2′ z2′ z1′ « = z1 z1′ − z2 z2′ −(z1 z2′ + z2 z1′ ) z1 z2′ + z2 z1′ z1 z1′ − z2 z2′ ! , was unsere Beziehung beweist. Die Identifizierung von S 3 und SU (2) erlaubt es uns, Pole, Meridiane und Breitenkreise auf S 3 in einem formalen algebraischen Kalkül zu beschreiben. Zu diesem Zweck betrachten wir zunächst das charakteristische Polynom der Matrix m(x) = m(z1 , z2 ) ∈ SU (2), das durch det (m(z1 , z2 ) − λI) = (z1 − λ)(z 1 − λ) + |z2 |2 = λ2 − (z1 + z 1 )λ + 1 gegeben ist.

In Vec H angegeben hat. 43. Es seien x, y Vektoren. Dann gilt (i) xy = y x genau dann, wenn x und y zueinander kollinear sind, und 44 Kapitel I. Zahlen genau dann, wenn x orthogonal zu y liegt. (ii) xy = −y x Beweis. (i) und (ii) folgen sofort aus den Beziehungen 0 = x y − y x = 2(x × y) und 0 = x y + y x = −2x · y. 2 Multilineare Produkte Eine multiplikative Verknüpfung von mehr als zwei Vektoren in Skalar- oder Vektorproduktform bringt einige Unwegsamkeiten mit sich. h. im Allgemeinen die Vektoren (x×y)×z und x×(y×z) voneinander verschieden sind, ist das Skalarprodukt überhaupt nur für zwei Vektoren definiert.

Einsetzen in die Formel von Euler–Rodrigues liefert z′ = = = x′ − (ω · x′ )ω x cos 2ϕ + (ω × x) sin 2ϕ − (ω · x)ω cos 2ϕ z cos 2ϕ + (ω × z) sin 2ϕ. Die letzte Gleichung besagt gerade, dass z in der zu ω senkrechten Ebene durch den Nullpunkt um den Winkel 2ϕ gedreht wird, denn in dieser Ebene stellen z und ω × z ein rechtwinkliges Koordinatensystem dar. Die Komponente von x in Richtung ω, also der Abstand zu der Ebene, bleibt unverändert. Das aber beschreibt die Drehung des R3 um die Achse ω um den Winkel 2ϕ.

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