Bases, outils et principes pour l'analyse variationnelle by Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

By Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

L’étude mathématique des problèmes d’optimisation, ou de ceux dits variationnels de manière générale (c’est-� -dire, « toute state of affairs où il y a quelque selected � minimiser sous des contraintes »), requiert en préalable qu’on en maîtrise les bases, les outils fondamentaux et quelques principes. Le présent ouvrage est un cours répondant en partie � cette demande, il est principalement destiné � des étudiants de grasp en formation, et restreint � l’essentiel. Sont abordés successivement : los angeles semicontinuité inférieure, les topologies faibles, les résultats fondamentaux d’existence en optimisation ; Les stipulations d’optimalité approchée ; Des développements sur los angeles projection sur un convexe fermé, notamment sur un cône convexe fermé ; L’analyse convexe dans son rôle opératoire ; Quelques schémas de dualisation dans des problèmes d’optimisation non convexe structurés ; Une creation aux sous-différentiels généralisés de fonctions non différentiables.

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Dans un contexte encore plus général, E est un espace de Banach, le théorème de Borwein- Preiss a fait des petits, il y a de nombreux articles qui ont été écrits sur le sujet, [FHV] en est un exemple choisi. Le Chapitre 8 de [Sc] est entièrement consacré à ces principes variationnels. 2 Applications en théorie de l’approximation hilbertienne Le problème-modèle en approximation hilbertienne est le suivant : Étant donné x ∈ H (espace de Hilbert), S une partie fermée non vide de H , résoudre le problème de minimisation suivant (Px ) Minimiser x − c (ou, ce qui revient au mˆeme, c ∈ S.

1) Notons que, contrairement à la minimisation exacte, l’existence de minimiseurs à ε près (pour ε > 0) ne pose aucun problème : il y a toujours des minimiseurs à ε près ! Cela résulte de la définition même de inf A lorsque A ⊂ R. L’unicité des minimiseurs à ε près n’est pas un problème non plus, il y a, généralement, une multitude de minimiseurs à ε près. Une situation très particulière où ça n’est pas le cas est comme suit : 1. PRINCIPE VARIATIONNEL D’EKELAND 27 Un exemple introduction de mise en garde : Ici f est dérivable sur R.

La fonction ϕ S apparaît donc comme une "fonction primitive de la projection sur S" (for whatever it means). 4 Existence et unicité générique en approximation hilbertienne Quand (Px ) a-t-il une solution ? Quand (Px ) a-t-il une et une seule solution ? Nous montrons ici que c’est "presque toujours" le cas. Évidemment, les questions posées concernent les points x ∈ / S. 50 CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE Fig. 1 Champ de gradients de d S , pointant toujours vers S. × : points de non-différentiabilité de d S Fig.

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