Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie: by Winfried Kaballo

By Winfried Kaballo

In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatortheorie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs.

Ausgehend von Fragen zu partiellen Differenzialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen: Distributionen, Fourier-Transformation, Sobolev-Räume, Dualitätstheorie im Rahmen lokalkonvexer Räume, topologische Tensorprodukte, exakte Sequenzen, Banachalgebren, Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle sowie selbstadjungierte Operatoren und ihre Rolle in der Quantenmechanik.

Das Buch ist ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch Abbildungen und viele Beispiele illustriert. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben (mit Lösungen auf der site zum Buch) können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln.

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1). 4 Rn g (δk ∗ f ) dx = Rn (δˇk ∗ g) f dx → Rn g f dx f¨ ur k → ∞ . 4 auch (δk ∗ f )(x) → f (x) in Stetigkeitspunkten x von f . Ist f in allen Punkten einer kompakten Menge K ⊆ Rn stetig, so ist die Konvergenz gleichm¨ aßig auf K . 5 ur m ∈ N0 und dicht F¨ ur eine offene Menge Ω ⊆ Rn ist D (Ω) folgendicht in Ccm (Ω) f¨ in Lp (Ω) f¨ ur 1 ≤ p < ∞ . Beweis. a) Es sei f ∈ Ccm (Ω) . Mit der Dirac-Familie (ρε ) in D (Rn ) aus (1) gilt ρε ∗ f ∈ C ∞ (Rn ) und supp(ρε ∗ f ) ⊆ (supp f )ε = supp f + U ε (0) (9) ur kleine ε > 0 .

Nun seien E ein weiterer (F ) -Raum und T : E → F eine lineare Abbildung, sodass iT : E → G stetig ist. 18. 17. 1 Geben Sie ein Fundamentalsystem von Normen auf C ∞ [a, b] an, die durch Skalarprodukte erzeugt werden. Finden Sie weitere Fr´echetr¨ aume, f¨ ur die dies m¨ oglich ist. 2 Zeigen Sie, dass es auf den Fr´echetr¨ aumen ω , C(Ω) und E(Ω) keine stetige Norm gibt. Sind diese R¨ aume zu s isomorph ? 3 Es sei x = (xk ) eine Folge in s(N) . Zeigen Sie ∞ | xk |r < ∞ f¨ ur alle r > 0 . Gilt k=1 eine Umkehrung dieser Aussage?

6. b) Bedingung (37) gilt auch, wenn supp u in einem abgeschlossenen Halbraum H ⊆ Rn und supp v in einem echt in H enthaltenen Kegel enthalten ist, vgl. 24. Im Fall n = 1 gen¨ ugt die Bedingung supp u, supp v ⊆ [0, ∞) , vgl. Abb. 6. 18 F¨ ur die beiden Distributionen u, v ∈ D (Rn ) gelte die Streifenbedingung (37). Dann ist u ∗ v = v ∗ u , und man hat ∂ α (u ∗ v) = ∂ α u ∗ v = u ∗ ∂ α v , α ∈ Nn 0 , supp(u ∗ v) ⊆ supp u + supp v . (40) (41) Weiter gilt δ ∗ u = u f¨ ur alle u ∈ D (Rn ) . at der Faltung ist klar aufgrund von (38) oder (39).

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