Analysis 3 by Herbert Amann, Joachim Escher

By Herbert Amann, Joachim Escher

Der dritte und letzte Band dieser Reihe ist der Integrationstheorie und den Grundlagen der globalen research gewidmet. Es wird wiederum viel Wert auf einen modernen und klaren Aufbau gelegt, der nicht nur eine wohl strukturierte sch?ne Theorie liefert, sondern dem Leser auch schlagkr?ftige Werkzeuge f?r seine weitere Besch?ftigung mit der Mathematik in die Hand gibt. Aus diesem Grund wird beispielsweise konsequent das Bochner-Lebesguesche indispensable entwickelt, welches ein unverzichtbares Hilfsmittel f?r die moderne Theorie der partiellen Differentialgleichungen darstellt. Ebenso wird eine model des Stokesschen Satzes bewiesen, welche den praktischen Bed?rfnissen der Mathematik und theoretischen Physik weitgehend Rechnung tr?gt.

Wie bereits in den fr?heren B?nden, werden auch hier zahlreiche Ausblicke auf weiterf?hrende Theorien gegeben, die dem Leser einen Eindruck von der Bedeutung und der St?rke der entwickelten Theorien vermitteln sollen. Daneben dienen diese Abschnitte dazu, den bereitgestellten Stoff weiter einzu?ben und zu vertiefen. Zahlreiche Beispiele, konkrete Rechnungen, eine Vielzahl von ?bungsaufgaben und viele Abbildungen machen dieses Lehrbuch zu einem verl?sslichen Begleiter durch das gesamte Studium.

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Setzen wir B0 := A0 und Bk := Ak ur k ∈ N× , so folgt leicht, j=0 Aj f¨ daß (Bk ) die angegebenen Eigenschaften besitzt. Nullmengen Es sei (X, A, μ) ein Maßraum. Jedes N ∈ A mit μ(N ) = 0 heißt μ-Nullmenge. Die Menge aller μ-Nullmengen bezeichnen wir mit Nμ . Das Maß μ bzw. der Maßraum (X, A, μ) heißt vollst¨andig, wenn aus N ∈ Nμ und M ⊂ N stets M ∈ A folgt. 5 Bemerkungen (a) F¨ ur M ∈ A und N ∈ Nμ mit M ⊂ N gilt M ∈ Nμ . Beweis Dies folgt aus der Monotonie von μ. (b) Abz¨ ahlbare Vereinigungen von μ-Nullmengen sind μ-Nullmengen.

Bn ) ∈ Rn und a = (a2 , . . , an ), b = (b2 , . . , bn ). Dann gilt n μ [a, b) = μ [a1 , b1 ) × [a , b ) = μ1 [a1 , b1 ) = vol1 [a1 , b1 ) μ1 [0, 1) = vol1 [a1 , b1 ) μ [0, 1) × [a , b ) . Ein einfaches Induktionsargument liefert nun n μ [a, b) = μ [0, 1)n vol1 [aj , bj ) = αn voln [a, b) . j=1 (ii) Es sei A ∈ B n [bzw. A ∈ L(n)], und (Ik ) sei eine Folge in J (n), welche A u ¨ berdeckt. Dann folgt aus (i) μ(A) ≤ k μ(Ik ) = αn k λn (Ik ) . 4 μ(A) ≤ αn λ∗n (A) = αn λn (A) . (iii) Es sei nun B ∈ B n [bzw.

Xm ∈ K mit m K ⊂ U := m j=0 Uxj , und μ(U ) ≤ j=0 μ(Uxj ) < ∞. 1 Dann ist μ genau dann lokal endlich, wenn f¨ ur jede kompakte Menge K ⊂ X gilt μ(K) < ∞. Beweis 1 Ein Dies folgt unmittelbar aus (a). topologischer Raum heißt lokal kompakt, wenn er Hausdorffsch ist und jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt. 4 Theorem Das Lebesguesche Maß ist regul¨ar. Beweis Es sei A ∈ L(n). (i) Zu jedem ε > 0 gibt es eine Folge (Ij ) in J(n) mit A⊂ j Ij F¨ ur die offene Menge O := und j Ij λn (A) ≤ λn (O) ≤ j voln (Ij ) < λn (A) + ε .

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